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César Bascuñán Hace 1 mes
Matemática (M1)

Duda con ejercicio de funciones

Hola a todos! 👋 Estoy practicando con algunos ejercicios de Demre y me topé con este problema. Sinceramente no cacho cómo resolverlo      

3 respuestas 2 siguiendo
Francisco Rojas
Hace 1 mes

Holi,

La alternativa correcta es la A) $f(x) = -3x + 720$.

Explicación paso a paso:

Para modelar este problema mediante una función afín de la forma $f(x) = mx + n$, debemos identificar qué significan los datos que nos entrega el enunciado:

  • Cantidad inicial ($n$): El estanque comienza con $720$ litros de agua. Esto corresponde al valor inicial o coeficiente de posición (cuando el tiempo es $x = 0$, la cantidad de agua es $720$). Por lo tanto, $n = 720$.
  • Razón de cambio o pendiente ($m$): El enunciado dice que el estanque «se vacía» a razón de $3$ litros por minuto. Que se vacíe significa que la cantidad de agua disminuye, por lo tanto, la pendiente debe ser negativa. Es decir, por cada minuto $x$, se pierden $3$ litros: $m = -3$.

Construcción de la función: Si juntamos ambos componentes, la función que representa el agua restante en el estanque tras $x$ minutos es:

$$f(x) = -3x + 720$$

Análisis de las alternativas incorrectas:

  • B) $g(x) = 3x – 720$: Está incorrecta porque significaría que el estanque empieza con «deuda» de agua ($-720$) y se va llenando ($3x$).
  • C) y D): Dividen por $3$, lo cual no tiene sentido físico en este contexto, ya que la tasa de vaciado multiplica a los minutos transcurridos, no los divide.
César Bascuñán
Hace 1 mes

Wena, muchas gracias! Me quedó clarísimo por qué es la alternativa A.

Sin embargo, me quede pensando en el comportamiento de la función y me surgieron dos dudas más para terminar de cerrar el concepto:

  • Sobre el dominio en el contexto real: Sé que matemáticamente una función lineal se extiende al infinito, pero en este problema real el estanque no puede tener agua negativa. ¿Cómo se definiría formalmente el dominio adecuado para esta función $f(x)$? O sea, ¿hasta qué minuto $x$ tiene sentido aplicar la fórmula antes de que el estanque se vacíe por completo?
  • Gráfico de la función: Si tuviera que bosquejar el gráfico de $f(x) = -3x + 720$, ¿en qué puntos exactos debería cortar a los ejes $x$ e $y$?
Francisco Rojas
Hace 1 mes

Mira en la matemática pura, las funciones son infinitas. Pero en la vida real, las funciones tienen límites lógicos. A esto lo llamamos dominio contextualizado. Sabemos que el estanque se vacía. El momento en que la fórmula deja de tener sentido es cuando el estanque se queda completamente vacío (0 litros). No podemos tener litros negativos de agua. Para averiguar en qué minuto ocurre esto, igualamos la función a 0:

0 = -3x + 720

Si despejamos x:

3x = 720

x= 720/3

x = 240

  • ¿Qué significa esto? Que a los 240 minutos, el estanque se vacía por completo.
  • El Dominio Real: Por lo tanto, el tiempo ($x$) solo puede ir desde el minuto $0$ (cuando se abre la llave) hasta el minuto $240$. Escrito formalmente, el dominio es: $[0, 240]$. Después del minuto 240, la fórmula ya no aplica porque el agua no puede seguir bajando de cero.

2. Gráfico de la función (Visualizando el problema) Graficar una función afín en un problema real es como sacar una foto del proceso. Para hacer el bosquejo exacto, solo necesitamos encontrar los dos puntos donde la línea cruza a los ejes coordenados (las «intersecciones»):

  • Corte con el eje y (Eje Vertical – Litros): Ocurre cuando el tiempo es cero (x = 0). Es el punto de partida. Si reemplazamos x = 0 en f(0) = -3(0) + 720, nos da 720. El punto en el gráfico es (0, 720). Representa el agua inicial.
  • Corte con el eje x (Eje Horizontal – Minutos): Ocurre cuando el agua se acaba (f(x) = 0). Como calculamos recién, esto pasa a los 240 minutos. El punto en el gráfico es (240, 0). Representa el momento del vacío total.

El bosquejo final: Si trazas una línea recta que empiece arriba en el eje vertical en el 720 y baje en diagonal hacia la derecha hasta tocar el eje horizontal en el 240, tendrás el gráfico perfecto de este problema. La pendiente va «hacia abajo» (decreciente) justamente porque el agua se está perdiendo.

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